الدوال من 0 الى مالا نهاية مراجعة عامة

ò톇ÈÛa@Þaë‡Ûa@Þìy@pbîßìàÇ
تذآير – I
-1 الدالة الزوجية- الدالة الفردية / A
أ- تعريف
حيز تعريفها Df دالة عددية لمتغير حقيقي و f لتكن
−x ∈Df Df من x دالة زوجية اذا تحقق الشرطان التاليان : * لكل f * نقول ان
f (−x ) = f (x ) Df من x * لكل
−x ∈Df Df من x دالة فردية إذا تحقق الشرطان التاليان : * لكل f * نقول إن
f (−x ) = −f (x ) Df من x * لكل
ب- التأويل الهندسي
خاصية
(O;i ; j ) منحناها في مستوى منسوب إلى معلم متعامد ممنظم Cf دالة عددية و f لتكن
􀁇 􀁇
Cf دالة زوجية إذا وفقط إذا آان محور الأراتيب محور تماثل للمنحنى f *- تكون
متماثلا بالنسبة لأصل المعلم Cf دالة فردية إذا وفقط إذا آان المنحنى f *- تكون
-2 تغيرات دالة
تعريف -a
Df مجال ضمن I دالة عددية لمتغير حقيقي و f لتكن
f (x 1 ) ≤ f (x فان ( 2 x 1 ≺ x إذا آان 2 I من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تزايدية على f - تكون
x 1 ≺ x إذا آان 2 I من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تزايدية قطعا على f - تكون
f (x 1 ) ≺ f (x فان ( 2
f (x 1 ) ≥ f (x فان ( 2 x 1 ≺ x إذا آان 2 I من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تناقصية على f - تكون
x 1 ≺ x إذا آان 2 I من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تناقصية قطعا على f - تكون
f (x 1 ) 􀀻 f (x فان( 2
معدل التغير -b
أ- تعريف
Df عنصرين مختلفين x و 2 x دالة عددية لمتغير حقيقي و 1 f لتكن
( 2 ) ( العدد ( 1
2 1
f x f x
x x
−
−
. x و 2 x بين 1 f يسمى معدل تغير الدالة
ب- معدل التغير و الرتابة
خاصية
( 2 ) ( و ( 1 Df مجال ضمن I دالة عددية لمتغير حقيقي و f لتكن
2 1
f x f x
T
x x
−
=
−
f معدل تغير الدالة
. x و 2 x بين 1
T ≥ 0 I مختلفين من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تزايدية على f - تكون
T 􀀻 0 I مختلفين من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تزايدية قطعا على f - تكون
T ≤ 0 I مختلفين من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تناقصية على f - تكون
T ≺ 0 I مختلفين من x و 2 x إذا و فقط إذا آان لكل 1 I تناقصية قطعا على f - تكون
الرتابة وزوجية دالة -c
خاصية
(J = {−x / x ∈I }) بالنسبة ل 0 I مجال مماثل ل J وDf ∩􀁜+ مجال ضمن I دالة زوجية و f لتكن
.J تناقصية على f فان I تزايدية على f - إذا آانت
.J تزايدية على f فان I تناقصية على f - إذا آانت
RETURN
4
خاصية
(J = {−x / x ∈I }) بالنسبة ل 0 I مجال مماثل ل J وDf ∩􀁜+ مجال ضمن I دالة فردية و f لتكن
.J تزايدية على f فان I تزايدية على f - إذا آانت
.J تناقصية على f فان I تناقصية على f - إذا آانت
ثم استنتاج تغيراتها على Df ∩􀁜+ ملاحظة: لدراسة تغيرات دالة فردية أو زوجية يكفي دراسة تغيراتها على
Df ∩􀁜−
-3 مطاريف دالة
أ- تعريف
I عنصر من a و I دالة عددية لمتغير حقيقي معرفة على مجال f لتكن
نكتب( ) ( ) ∀x∈ I f (x) ≤ f (a) إذا آان I على مجال f هو القيمة القصوى ل f (a) - نقول إن
x Df
f a Maxf x
∈
=
نكتب( ) ( ) ∀x∈ I f (x) ≥ f (a) إذا آان I على مجال f هو القيمة الدنيا ل f (a) - نقول ان
x Df
f a Minf x
∈
=
ب- خاصية
دالةعددية لمتغير حقيقي f و a ≺ b ≺ c أعداد حقيقية حيث c و b و a ليكن
b تقبل قيمة قصوى عند f فان [b;c ] و تناقصية على [a;b ] تزايدية على f إذا آانت
b تقبل قيمة دنيا عند f فان [b;c ] و تزايدية على [a;b ] تناقصية على f إذا آانت
دراسة بعض الدوال الاعتيادية - / B
-1 الدالة الحدودية من الدرجة الثانية
خاصيات
a ≠ و 0 (a;b;c)∈􀁜 حيث 3 f (x) = ax2 + bx + c ب 􀁜 دالة حدودية من الدرجة الثانية المعرفة على f لتكن
هذه الكتابة تسمى 􀁜 من x لكل f (x) = a(x −α )2 + β حيث β و α * يوجد عددان حقيقيان
f الشكل القانوني للدالة
u􀁇 (α ;β ) بالإزاحة ذا المتجهة x → ax الممثل للدالة 2 (C) هو صورة المنحنى Cf * المنحنى
* f x =α و محور تماثله المستقيم ذا Ω(α ;β ) في معلم متعامد هو شلجم رأسه f منحنى C
ملاحظة:
2
b
a
β = f (α ) و α = −
فان: a 􀀻 *- إذا آان 0
+∞
2
b
a
−
x −∞
2
f b
a
−   
 
f
فان: a ≺ * إذا آان 0
+∞
2
b
a
−
x −∞
2
f b
a
−   
 
f
RETURN
5
-2 الدالة المتخاطة
d الدالة المتخاطة المعرفة على f لتكن
c
−  −  
 
f (x) ax b ب 􀁜
cx d
+
=
+
ad − bc ≠ و 0 c ≠ حيث 0
f (x) حيث λ و β وα * توجد أعداد حقيقية
x
λ
β
α
= +
−
d من x لكل
c
−  − 
 
􀁜
x الممثل للدالة (C) هو صورة المنحنى Cf * المنحنى
x
λ
u􀁇 (α ;β ) → بالإزاحة ذا المتجهة
* f و مقارباه هما المستقيمان المعرفان ب Ω(α ;β ) في معلم متعامد هو هدلول مرآزه f منحنى C
y = β و x =α
d : ملاحظة
c
α
−
a = و
c
β =
*- إذا آان 0
a b
c d
فان 􀀻
+∞ d
c
−
x −∞
f
*- إذا آان 0
a b
c d
≻ فان
+∞ d
c
−
x −∞
f
الدالة المكبورة –الدالةالمصغورة – الدالة المحدودة –II
1/ نشاط 6
2/ تعاريف
I دالة معرفة على مجال f لتكن
I من x لكل f (x) ≤ M : حيث M اذا وجد عدد حقيقي I مكبورة على f *- نقول إن
I من x لكل f (x) ≥ m : حيث m اذا وجد عدد حقيقي I مصغورة على f *- نقول إن
I من x لكل m ≤ f (x) ≤ M : حيث m و M اذا وجد عددين I محدودة على f *- نقول إن
خاصية
I دالة معرفة على مجال f لتكن
I من x لكل f (x) ≤ s : حيث s اذا وجد عدد حقيقي موجب I محدودة على f نقول إن
تمرين
الدالة العددية للمتغير الحقيقي المعرفة ب f نعتبر
2 4 f (x) x x
x
+ −
=
RETURN
6
Df -1 حدد
-2 بين أن الدالة مكبورة على ]∞ +, 2] بالعدد 2 و مصغورة على ]∞ +, 2] بالعدد 1
مقارنة دالتين- التأويل الهندسي –III
1/نشاط 7
2/ أ/ تساوي دالتين
- تعريف
مجموعتي تعريفهما على التوالي Dg و Df دالتين عدديتين و g و f نعتبر
Df من x مهما آانت f (x) = g (x) * و Dg =Df * : اذا و فقط اذا آان f = g و نكتب g تساوي f نقول إن
ب/ مقارنة دالتين
- تعريف
I دالتين معرفتين مجال g و f نعتبر
I على f ≤ g نكتب I من x مهما آانت f (x) ≤ g (x) : اذا آان I على g أصغر أو تساوي f نقول إن
ج/ التأويل الهندسي
I على g تحت منحنى f يعني هندسيا أن منحنى الدالة I على f ≤ g
د/ الدالة الموجبة- الدالة السالبة
I دالة معرفة على مجال f نعتبر
(∀x∈Ι ; f (x) ≥ 0)⇔ I دالة موجبة على f *
(∀x∈Ι ; f (x) ≤ 0)⇔ I دالة سالبة على f *

شكرا جزيلا لك جزاك الله خيرا فهذه مبادرة جد جميلة منك